Carlos Calvet

Primeira Comunicação

A) SEGREDOS DE PI


1) Pi não é um número inocente. Nele acontecem fenómenos curiosos, senão estranhos. Por exemplo, parece ter uma certa simpatia pelo número 5. De facto, as suas primeiras 5 decimais somam 20 e as primeiras 20 somam 5x20=100. Por outro lado, as primeiras 100 decimais somam 477, que é um número intrinsecamente ligado à geometria da pirâmide de Kheops, como veremos mais tarde.

Mais notável é o que se passa com a 761ª decimal. Esta é um 4 seguido de 6 noves - uma raríssima sequência - o que lhe dá o valor virtual de 5. Ora a raiz digital de 761 é 5. Agora, se fizermos o somatório dos factoriais dos algarismos que compõem 761 obtemos 5761 (7!+6!+1!=5761).

Surge-nos o próprio número precedido da sua raiz digital e 761 é o único número que dá tal resultado, de acordo com a equação:

O problema tem um limite: n<=7 e foi resolvido através de um adequado programa de computador pelo engº Jorge Cruz. Solução mais tarde comprovada analiticamente pelo engº José Cayolla.

Vemos assim em Pi (em base decimal) a conjunção de uma raridade com uma singularidade. Por isso lhe chamei "A Singularidade de Pi". (v/ Carlos Calvet, "Matemática e Simbologia" - "Colóquio Artes" nº 85, Junho de 90, ed. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa)


2) O número 761 reserva-nos mais uma surpresa, no contexto de uma regra matemática que diz o seguinte:

"Quando dois números diferentes somam 1000 e um deles tem raiz digital igual a 5, o outro terá sempre idêntica raiz digital. Isto só acontece com o número 1000".

Existem apenas 110 números nestas condições, formando 55 pares. Destes, 9 pares são formados por números primos. Todos estes números diferem de 9 ou de múltiplos de 9.

Dos 55 pares e situado a meio do conjunto, apenas o par formado pelos primos 761 e 239 satisfaz a equação.

Sendo A=761, B=239 e A>B.

Temos assim: 5761/761-6=5(239/761)=1,5703002..., o que constitui outra singularidade de 761.

Note-se que 239/761x10=3,1406..., sendo o único par que, dos 55, nos dá Pi com 3 dígitos correctos.

Existe mais um par: 500-500, mas que é formado pelo mesmo número; também ele não satisfaz a equação. Daremos proximamente a lista completa dos 55+1 pares.


3) Se adoptarmos o Pi egípcio 22/7=3,142857142857... cuja decimais são formadas pela mesma sequência periódica de 6 algarismos, verificamos que a 761ª decimal é um 5, situado na 5ª posição da 127ª sequência; 127=2^7-1, é o 7º número de Mersenne (de passagem, como curiosidade, note-se que o inverso de 22/7 nos dá a velocidade da luz:

apenas mais lenta 19 km/s que o valor teórico. Talvez seja a velocidade da luz quando abrandada pelas poeiras cósmicas…!).


4) Também Pi se relaciona de um modo curioso com os números 3 e 7:

  • As 3 primeiras decimais somam 6, que é o 1º número perfeito e o número triangular de 3.
  • As 7 primeiras decimais somam 28, que é o 2º número perfeito e o número triangular de 7.


  • 5) Ainda a respeito do 7, podemos verificar outras coincidências interessantes: a 9961ª decimal de Pi é um 6 seguido de 3 noves, o que lhe dá o valor virtual de 7, com razoável aproximação. Ora 9961 é divisível por 7 (tal como 5761, aliás) e a sua raiz digital é 7. Por outro lado 9!+9!+6!+1!=4200=100 (7x6x1).

    N.B. - Pi com 10.000 decimais pode ser consultado na capa do livro A history of Pi de Petr Beckmann, ed. The Golem Press, Boulder, Colorado, U.S.A., 1982; ou em "Mathematics of computation", ed. The American Mathematical Society, 1962, vol.XVI, nº 77, pp. 76-99.


    6) Outro fenómeno notável é a relação de Pi com o "quadrado mágico de 5" (descoberta pelo Americano E. Lobeck, cerca de 1975). Eis uma descrição sumária:

    Considere-se o quadrado mágico de 5 cujas linhas são:

    1ª linha: 17, 24,  1,  8, 15;
    2ª linha: 23,  5,  7, 14, 16;
    3ª linha:  4,  6, 13, 20, 22;
    4ª linha: 10, 12, 19, 21,  3;
    5ª linha: 11, 18, 25,  2,  9.

    A constante deste quadrado é 65, pois cada linha, coluna ou diagonal soma esse valor.

    Substituindo, agora, sucessivamente nele os números 1,2,3,...25 pelos primeiros 25 dígitos de Pi (3,1,4, 1, 5, 9...) obtem-se um novo quadrado em que as somas de linhas e colunas apresentam igualdades, duas a duas:
    1ª coluna=17=5ª linha;
    2ª coluna=29=4ª linha;
    3ª coluna=25=3ª linha;
    4ª coluna=24=1ª linha
    5ª coluna=23=2ª linha.

    Algo misterioso, não é?

    (v/ Lucien Gérardin, Les carrés magiques, p.167, ed. Dangles, 1985, St. Jean-de-Braye, França; ou "Colóquio Artes" nº 85, p.15, acima referido).

    Temos ainda que a soma das 2 diagonais deste novo quadrado é 65 (27+38), a constante do quadrado mágico de 5. Neste, o ponto de cruzamento das 2 diagonais é ocupado pelo número 13. Curiosamente, a soma das primeiras 13 decimais de Pi é 5x13=65.


    7) Um breve comentário: a "Singularidade de Pi" põe-nos um interrogação: trata-se de uma mera coincidência? Parece-me demasiado casual. Que será então: algum sinal de uma estructura oculta?

    Deixo esta interrogação pairando no ciberespaço…
    (continua)



    Carlos Calvet
    Lisboa, 6 de Maio de 1997

     

     

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