Terceira Comunicação

Assalto à Fortaleza Pi


Desvendar o segredo do círculo, construindo um quadrado de igual área, era um dos sonhos dos antigos Gregos. Para eles, o círculo era uma forma divina e determinar a sua área exacta (ou perímetro) seria para os humanos colocar-se ao nível dos deuses. Para essa busca punham 3 condições: ser feita com compasso, régua não graduada e num número finito de passos. Bastaria então achar a raiz quadrada de Pi. Durante mais de 2000 anos o círculo mostrou ser uma fortaleza inexpugnável. Legiões de matemáticos tentaram o assalto mas só encontraraminvencível resistência. Então, em 1882, Lindemann demonstrou que Pi era um irracional transcendente e que não havia solução para a sua quadratura segundo as regras gregas. Contudo, o problema subsiste como fascínio e, se a fortaleza não é conquistável, podemos pelo menos trazer da nossa tentativa alguns troféus como, por exemplo, uma construção elegante ou um punhado de decimais.

A seguir, apresento 4 soluções que, através de traçados simples, alcançam satisfatória precisão.

1) Vejamos a primeira (fig.1): é baseada em raiz quadrada de 5 e com ela obtemos o lado do quadrado quadraturante com 99,999997% de exactidão.


2) No 2º Caso (fig.2) podemos ver a interacção do triângulo equilátero com o pentágono estrelado, inscritos no círculo. Um bem sucedido casamento entre o Divino Triângulo e a Estrela Flamejante! Abrindo amavelmente os seus braços o triângulo dá-nos o lado EF=raiz quadrada de 6, do quadrado EFGH, cuja a área é exactamente 6. Então o pentágono oferece-nos o raio AC=2-0,618034=1,381966 de um círculo cuja a área é 5,9999, praticamente igual à do quadrado. N.B. – 0,618034 É o inverso do Número de Ouro.


Um pequeno poema
 
Toma da Estrela Flamejante, com gestos cuidadosos,
o raio com que farás rotundo Seis;
Abre do Divino Triângulo os braços generosos
até obteres Quadrado que ao Seis também obedece.
A essa luz, que já ungiu reis poderosos,
casados ficam por Lei que não perece.

3) A 3ª Solução (fig.3) diz-nos algo de sedutor: o ângulo de 40º pode dar-nos directamente uma quadratura muito perfeita. Fazendo uma pequena rotação de CB para CD, o ponto D passa a ser o vértice do quadrado pretendido, cujo lado ED tem 6 decimais correctas. O ângulo de 40º pode ser construido do seguinte modo: (1,78 x raiz quadrada de 2) / 3 = tg 40º 00’ 0,05’’


4) A 4ª solução (fig.4) é a que vai mais longe. lado do quadrado: AI=1,772453850 tem um erro de apenas 1 / 1 000 000 000, em relação ao lado teórico que é 1,772453851.

Para um círculo com 1000 Km de raio, a diferença entre o lado construido e o lado teórico seria 1 mm.


N.B. – É possivel alcançar resultados melhores, com 14, 15 ou 16 decimais correctas, porém exigem construções um pouco mais complicadas.

5) Para terminar, aqui vão algumas fórmulas de áreas circulares que são quase quadrados:


Carlos Calvet Maio.99
mailto:carlos.calvet@mail.telepac.pt

Sobre Pi: v/ David Blatner <http://www.joyofpi.com/>

 

http://carloscalvet.planetaclix.pt

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